Systèmes dynamiques et géométrie

L'étude des champs vectoriels, des champs de torseurs, et de leur dynamique permet des applications intéressantes dans le domaine de la gestion du trafic aérien.

Entropie topologique et complexité du trafic

Le trafic aérien peut être vu comme un champ vectoriel défini par les positions et vitesses des avions, et qui évolue au cours du temps. L'étude de ce système dynamique de vecteurs permet d'introduire une mesure intrinsèque de la complexité du trafic, basée sur l'entropie topologique de Kolmogorov.

Fonctions de navigation

L'utilisation de fonctions de navigation est courante en robotique. Elles permettent de calculer les positions et les vitesses successives d'un robot se déplaçant dans un environnement auquel on associe une energie potentielle. Typiquement, la destination sera le point de potentiel le plus bas, alors que les obstacles à éviter auront le potentiel le plus élevé.

Une fonction de navigation permet de calculer un cheminement menant de la position initiale à la destination finale, en suivant une direction de descente (l'opposé du gradient du potentiel). L'existence de ce cheminement est garanti pour les fonctions de potentiel ayant la propriété de Morse.

Pour pouvoir appliquer ce type de méthode à la planification de trajectoires d'avions, il est indispensable de contourner un invonvénient majeur des fonctions de navigation classiques. Ces dernières ne permetten pas de contraindre simultanément les vitesses et le rayon de courbure des trajectoires. Or, la vitesse d'un avion doit rester dans un intervalle fixé, et le rayon de courbure doit rester borné par une valeur dépendant directement de la vitesse de l'avion.

Afin de répondre à ces contraintes, nous proposons une nouvelle fonction de navigation basée sur les fonction bi-harmoniques. Cette fonction permet d'obtenir des trajectoires à vitesse constante tout en gardant les bonnes propriétés des fonctions de navigation: existence d'un champ de navigation, évitement des obstacle, cheminement garanti vers la destination.